حاصل جمع هر ستون را مانند نمونه‌ها در سطر آخر بنویسید:
پاسخ تشریحی:
برای جمع و تفریق عبارات رادیکالی، باید **رادیکال‌های متشابه** را پیدا کنیم. رادیکال‌های متشابه آنهایی هستند که قسمت رادیکالی آنها (عدد زیر رادیکال و فرجه) کاملاً یکسان باشد. سپس ضرایب عددی آنها را با هم جمع یا تفریق می‌کنیم.
**ستون ۱ (سمت راست):** $ \sqrt{۲}, \sqrt{۳}, \sqrt{۵}, ۶\sqrt{۲} $
* رادیکال‌های متشابه: $ \sqrt{۲} $ و $ ۶\sqrt{۲} $
* حاصل جمع: $ (۱+۶)\sqrt{۲} + \sqrt{۳} + \sqrt{۵} = ۷\sqrt{۲} + \sqrt{۳} + \sqrt{۵} $
**ستون ۲:** $ \sqrt{xy}, ۲\sqrt{x}, -\sqrt{yx}, ۴\sqrt{xy} $
* رادیکال‌های متشابه: $ \sqrt{xy}, -\sqrt{yx} (=-\sqrt{xy}), ۴\sqrt{xy} $
* حاصل جمع: $ (۱-۱+۴)\sqrt{xy} + ۲\sqrt{x} = ۴\sqrt{xy} + ۲\sqrt{x} $
**ستون ۳:** $ ۳\sqrt{a}, ۲\sqrt{b}, -\frac{۱}{۵}\sqrt{a}, -۷\sqrt{b} $
* جملات با $ \sqrt{a} $: $ (۳ - \frac{۱}{۵})\sqrt{a} = (\frac{۱۵-۱}{۵})\sqrt{a} = \frac{۱۴}{۵}\sqrt{a} $
* جملات با $ \sqrt{b} $: $ (۲ - ۷)\sqrt{b} = -۵\sqrt{b} $
* حاصل جمع: $ \frac{۱۴}{۵}\sqrt{a} - ۵\sqrt{b} $
**ستون ۴:** $ \frac{\sqrt{۵}}{۲}, ۲\sqrt{۵}, -\frac{۴}{۳}\sqrt{۱۰}, -۲\sqrt{۱۰} $
* جملات با $ \sqrt{۵} $: $ (\frac{۱}{۲} + ۲)\sqrt{۵} = (\frac{۱+۴}{۲})\sqrt{۵} = \frac{۵}{۲}\sqrt{۵} $
* جملات با $ \sqrt{۱۰} $: $ (-\frac{۴}{۳} - ۲)\sqrt{۱۰} = (\frac{-۴-۶}{۳})\sqrt{۱۰} = -\frac{۱۰}{۳}\sqrt{۱۰} $
* حاصل جمع: $ \frac{۵}{۲}\sqrt{۵} - \frac{۱۰}{۳}\sqrt{۱۰} $
حاصل عبارت‌های زیر را ساده کنید. راه حل‌ها را توضیح دهید و آنها را کامل کنید.
الف) $ \sqrt{۷۲} - \sqrt{۳۲} + \sqrt{۱۸} $
ب) $ \sqrt{۵۰} + \sqrt[3]{۲۴} + \sqrt[3]{۸۱} $
پاسخ تشریحی:
برای ساده کردن این عبارات، ابتدا هر رادیکال را تا حد امکان ساده می‌کنیم و سپس جملات متشابه (رادیکال‌هایی با فرجه و عدد زیر رادیکال یکسان) را با هم جمع یا تفریق می‌کنیم.
### الف) $ \sqrt{۷۲} - \sqrt{۳۲} + \sqrt{۱۸} $
**۱. ساده کردن هر رادیکال:**
برای ساده کردن ریشه‌های دوم، عدد زیر رادیکال را به حاصل‌ضرب بزرگترین مربع کامل ممکن در عددی دیگر تجزیه می‌کنیم.
* $ \sqrt{۷۲} = \sqrt{۳۶ \times ۲} = \sqrt{۶^۲ \times ۲} = ۶\sqrt{۲} $
* $ \sqrt{۳۲} = \sqrt{۱۶ \times ۲} = \sqrt{۴^۲ \times ۲} = ۴\sqrt{۲} $
* $ \sqrt{۱۸} = \sqrt{۹ \times ۲} = \sqrt{۳^۲ \times ۲} = ۳\sqrt{۲} $
**۲. ترکیب جملات متشابه:**
حالا عبارت ساده شده را می‌نویسیم. تمام جملات دارای $ \sqrt{۲} $ هستند و متشابه‌اند.
$ \sqrt{۷۲} - \sqrt{۳۲} + \sqrt{۱۸} = ۶\sqrt{۲} - ۴\sqrt{۲} + ۳\sqrt{۲} $
ضرایب را با هم جمع و تفریق می‌کنیم:
$ (۶ - ۴ + ۳)\sqrt{۲} = ۵\sqrt{۲} $
* **تکمیل جاهای خالی در سوال:**
$ \sqrt{۷۲} = \sqrt{۶^۲ \times ۲} = ۶\sqrt{۲} $
$ \sqrt{۳۲} = \sqrt{۴^۲ \times ۲} = ۴\sqrt{۲} $
$ \sqrt{۱۸} = \sqrt{۹ \times ۲} = ۳\sqrt{۲} $
بنابراین: $ ۶\sqrt{۲} - ۴\sqrt{۲} + ۳\sqrt{۲} = ۵\sqrt{۲} $
---
### ب) $ \sqrt{۵۰} + \sqrt[3]{۲۴} + \sqrt[3]{۸۱} $
**۱. ساده کردن هر رادیکال:**
در اینجا هم ریشه‌ی دوم و هم ریشه‌ی سوم داریم. برای ریشه‌های سوم، عدد را به حاصل‌ضرب بزرگترین مکعب کامل ممکن تجزیه می‌کنیم.
* $ \sqrt{۵۰} = \sqrt{۲۵ \times ۲} = \sqrt{۵^۲ \times ۲} = ۵\sqrt{۲} $
* $ \sqrt[۳]{۲۴} = \sqrt[۳]{۸ \times ۳} = \sqrt[۳]{۲^۳ \times ۳} = ۲\sqrt[۳]{۳} $
* $ \sqrt[۳]{۸۱} = \sqrt[۳]{۲۷ \times ۳} = \sqrt[۳]{۳^۳ \times ۳} = ۳\sqrt[۳]{۳} $
**۲. ترکیب جملات متشابه:**
عبارت ساده شده را می‌نویسیم:
$ ۵\sqrt{۲} + ۲\sqrt[۳]{۳} + ۳\sqrt[۳]{۳} $
در این عبارت، دو جمله‌ی آخر ($ ۲\sqrt[۳]{۳} $ و $ ۳\sqrt[۳]{۳} $) متشابه هستند و با هم جمع می‌شوند. جمله‌ی اول ($ ۵\sqrt{۲} $) با آنها متشابه نیست.
$ ۵\sqrt{۲} + (۲+۳)\sqrt[۳]{۳} = ۵\sqrt{۲} + ۵\sqrt[۳]{۳} $
* **تکمیل جاهای خالی در سوال:**
$ \sqrt{۵^۲ \times ۲} + \sqrt[۳]{۲^۳ \times ۳} + \sqrt[۳]{۳^۳ \times ۳} $
$ = ۵\sqrt{۲} + ۲\sqrt[۳]{۳} + ۳\sqrt[۳]{۳} = ۵\sqrt{۲} + ۵\sqrt[۳]{۳} $
